（2012•徐汇区二模）如果存在常数a使得数列{an}满足：若x是数列{an}中的一项，则a-x也是数列{an}中的一项，称数列{an}为“兑换数列”，常数a是它的“兑换系数”．（1）若数列：1，2，4，m（

Question

（2012•徐汇区二模）如果存在常数a使得数列{a_n}满足：若x是数列{a_n}中的一项，则a-x也是数列{a_n}中的一项，称数列{a_n}为“兑换数列”，常数a是它的“兑换系数”．
（1）若数列：1，2，4，m（m＞4）是“兑换系数”为a的“兑换数列”，求m和a的值；
（2）若有穷递增数列{b_n}是“兑换系数”为a的“兑换数列”，求证：数列{b_n}的前n项和Sn＝(n)/(2)•a；
（3）已知有穷等差数列{c_n}的项数是n₀（n₀≥3），所有项之和是B，试判断数列{c_n}是否是“兑换数列”？如果是的，给予证明，并用n₀和B表示它的“兑换系数”；如果不是，说明理由．

Answer 1

（1）因为数列：1，2，4，m（m＞4）是“兑换系数”为a的“兑换数列”
所以a-m，a-4，a-2，a-1也是该数列的项，且a-m＜a-4＜a-2＜a-1----------（1分）
故a-m=1，a-4=2-------------------（3分）
即a=6，m=5．-------------------（4分）
（2）证明：不妨设有穷数列{b_n}的项数为n
因为有穷数列{b_n}是“兑换系数”为a的“兑换数列”，所以a-b_n，a-b_n-1，…，a-b₁也是该数列的项，-----（5分）
又因为数列{b_n}是递增数列b₁＜b₂＜…＜b_n，且a-b_n＜a-b_n-1＜…＜a-b₁-------------------（6分）
则b_i+b_n+1-i=a（1≤i≤n）-------------------（8分）
故Sn＝b1+b2+…+bn＝(n)/(2)a-------------------（10分）
（3）数列{c_n}是“兑换数列”．证明如下：
设数列{c_n}的公差为d，因为数列{c_n}是项数为n₀项的有穷等差数列
若c1≤c2≤c3≤…≤cn0，则a−c1≥a−c2≥a−c3≥…≥a−cn0
即对数列{c_n}中的任意一项c_i（1≤i≤n₀）a−ci＝c1+(n0−i)d＝cn0+1−i∈{cn}-------（12分）
同理可得：若c1≥c2≥c3≥…≥cn0，a−ci＝c1+(n0−i)d＝cn0+1−i∈{cn}也成立，
由“兑换数列”的定义可知，数列{c_n}是“兑换数列”；-------------------（14分）
又因为数列{b_n}所有项之和是B，所以B＝((c1+cn0)•n0)/(2)＝(a•n0)/(2)，即a＝(2B)/(n0)-------------------（18分）