数式巧算11111+----+-----+-------+.+-----------------1+21+2+31+2+3+41+2+3+4+...+10(1+9+25+....+99的平方)-(4+16+35+....+100的平方)

Question

数式巧算
1 1 1 1
1+ ----+ -----+ -------+.+ -----------------
1+2 1+2+3 1+2+3+4 1+2+3+4+...+10
(1+9+25+....+99的平方)-(4+16+35+....+100的平方)

Answer 1

1/(1+2+3+...+n)=2/n(n+1)=2[1/n-1/(n+1)]
1+1/(1+2)+1/(1+2+3)+...+1/(1+2+...+10)
=1+2(1/2-1/3)+2(1/3-1/4)+...+2(1/10-1/11)
=1+2(1/2-1/3+1/3-1/4+...+1/10-1/11)
=1+2(1/2-1/11)
=2-2/11
=20/11
(1+9+25+.+99的平方)-(4+16+36+.+100的平方)
=(1+3^2+5^2+...+99^2)-(2^2+4^2+...+100^2)
=(1^2-2^2)+(3^2-4^2)+..+(99^2-100^2)
=(1+2)(1-2)+(3+4)(3-4)+...+(99+100)(99-100)
=-(1+2+3+4+...+100)
=-5050