绝对难的数学题实数ab满足a^2+b^2=ab+3,求a^2+3b^2最大值只要过程都别瞎想了，答案有个根号7

Question

绝对难的数学题
实数a b 满足 a^2+b^2=ab+3,求a^2+3b^2最大值
只要过程 都别瞎想了，答案有个根号7

Answer 1

经过我的思考,我终于找到了一个比较简单的方法
解关于b的二元一次方程a^2+b^2=ab+3,得b=[a±√(12-3a^2)]/2
设k=a^2+3b^2
a^2+3b^2
=a^2+3{[a±√(12-3a^2)]/2}^2
=a^2+3/4*[a^2±2a√(12-3a^2)+12-3a^2]
=a^2+3/4*[-2a^2±2a√(12-3a^2)+12]
=a^2-3/2*a^2±3/2√(12-3a^2)+9
=-1/2*a^2±3/2√(12-3a^2)+9=k
-a^2±3√(12-3a^2)+18=2k
±3√(12-3a^2)=a^2+2k-18
9a^2(12-3a^2)=a^4+2a^2(2k-18)+4k^2-72k+324
-27a^4+108a^2=a^4+(4k-36)a^2+4k^2-72k+324
28a^4+(4k-108)a^2+4k^2-72k+324=0
7a^4+(k-36)a^2+k^2-18k+81=0
设x=a^2
则7x^2+(k-36)x+k^2-18k+81=0
∵△≥0
∴(k-36)^2-28(k^2-18k+81)≥0
k^2-72k+1296-28k^2+504k-2268≥0
-27k^2+432k-972≥0
-k^2+16k-36≥0
k^2-16k+36≤0
k^2-16k+64≤28
(k-8)^2≤28
|k-8|≤2√7
-2√7≤k-8≤2√7
8-2√7≤k≤8+2√7
又∵7x^2+(k-36)x+k^2-18k+81=0必须要有非负根才能使7a^4+(k-36)a^2+k^2-18k+81=0有实数解
∴36-k+√(-27k^2+432k-972)≥0
√(-27k^2+432k-972)≥k-36
不等式左边明显大于0,而根据上面求出的k的范围,不等式右边应小于0,所以此不等式在有意义的情况下恒成立
∴k的范围为8-2√7≤k≤8+2√7
即8-2√7≤a^2+3b^2≤8+2√7
∴a^2+3b^2的最大值为8+2√7