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某单位决定投资3200元建一仓库(长方体形状),高度恒定,它的后墙利用旧墙不花钱,正面用铁栅,每米造价40元,两侧墙砌砖,每米造价45元,屋顶每平方米造价20元,试计算:(1)仓库
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某单位决定投资3200元建一仓库(长方体形状),高度恒定,它的后墙利用旧墙不花钱,正面用铁栅, 每米造价40元,两侧墙砌砖,每米造价45元,屋顶每平方米造价20元,试计算:(1)仓库面积S的最大值是多少?(2)为使S最大,而实际投资又不超过预算,那么正面铁栅应设计为多长?
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答案和解析
设:正面建X米,两侧建Y米。 40X+2×45Y+20XY=3200 40X+90Y+20XY=3200 4X+9Y+2XY=320 4X+2XY=320-9Y 2X(2+Y)=320-9Y X=(320-9Y)/2(2+Y) S=XY=(320-9Y)/2(2+Y)×Y=(320Y-9Y²)/(4+2Y) 如果面积S有极大值,对S求导并等于0 S'=[(320Y-9Y²)/(4+2Y)]' =[(4+2Y)(320Y-9Y²)'-(320Y-9Y²)(4+2Y)']/(4+2Y)² =[(320Y)'-(9Y²)']/(4+2Y)-{(320Y-9Y²)[4'+(2Y)']}/(4+2Y)² =(320-18Y)/(4+2Y)-[(320Y-9Y²)(0+2)]/(16+16Y+4Y²) =[(320-18Y)(4+2Y)-(640Y-18Y²)]/(16+16Y+4Y²) =(1280+640Y-72Y-36Y²-640Y+18Y²)/(16+16Y+4Y²) =(1280-72Y-18Y²)/(16+16Y+4Y²)=0 (1280-72Y-18Y²)/(16+16Y+4Y²)=0 1280-72Y-18Y²=0 640-36Y-9Y²=0 9Y²+36Y-640=0 (3Y+32)(3Y-20)=0 ∵3Y+32=0,∴Y1=-32/3(负数没有意义,舍去) ∵3Y-20=0,∴Y2=20/3(米) X=(320-9Y)/2(2+Y) =[320-9(20/3)]/2(2+(20/3) =(320-60)/[(12+20)/3] =260/(32/3) =24.375(米) S=XY=24.375×20/3=162.5(平方米) 答:仓库面积的最大值是162.5平方米,正面铁栅应设计20/3米。
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