在△ABC中，已知tanA+B2=sinC，给出以下四个论断：①tanA•cotB=1②0＜sinA+sinB≤2③sin2A+cos2B=1④cos2A+cos2B=sin2C，其中正确的是．

Question

在△ABC中，已知tan(A+B)/(2)=sinC，给出以下四个论断：①tanA•cotB=1②0＜sinA+sinB≤√(2)③sin²A+cos²B=1④cos²A+cos²B=sin²C，其中正确的是______．

Answer 1

∵tan(A+B)/(2)=sinC
∴(sin(A+B)/(2))/(cos(A+B)/(2))=2sin(A+B)/(2)cos(A+B)/(2)，
整理求得cos（A+B）=0，∴A+B=90°．
∴tanA•cotB=tanA•tanA不一定等于1，①不正确．
∴sinA+sinB=sinA+cosA=√(2)sin（A+45°）
∵45°＜A+45°＜135°，
∴(√(2))/(2)＜sin（A+45°）≤1，
∴1＜sinA+sinB≤√(2)，②不正确；
cos²A+cos²B=cos²A+sin²A=1，
sin²C=sin²90°=1，
∴cos²A+cos²B=sin²C，④正确．
sin²A+cos²B=sin²A+sin²A=2sin²A=1不一定成立，故③不正确．
综上知④正确
故答案为：④