已知点A（-12，12），在抛物线C：y2=2px（p>0）的准线上，点M，N在抛物线C上，且位于x轴的两侧，O是坐标原点，若OM•ON=3，则点A到动直线MN的最大距离为．

Question

已知点A（-(1)/(2)，(1)/(2)），在抛物线C：y²=2px（p>0）的准线上，点M，N在抛物线C上，且位于x轴的两侧，O是坐标原点，若

OM

•

ON

=3，则点A到动直线MN的最大距离为___．

Answer 1

抛物线C：y²=2px（p>0）的准线为x=-(p)/(2)，
由题意得-(p)/(2)=-(1)/(2)，解得p=1．
即有抛物线方程为y²=2x，
设直线MN的方程为：x=ty+m，点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
直线MN与x轴的交点为D（m，0），
x=ty+m代入y²=2x，可得y²-2ty-2m=0，
根据韦达定理有y₁•y₂=-2m，
∵

OM

•

ON

=3，
∴x₁•x₂+y₁•y₂=3，从而(1)/(4)（y₁•y₂）²+y₁•y₂-3=0，
∵点M，N位于x轴的两侧，
∴y₁•y₂=-6，故m=3．
当y=0时，x=3恒成立，
故直线MN所过的定点坐标是D（3，0），
当直线MN绕着定点D（3，0）旋转时，AD⊥MN，
即有点A到动直线MN的距离最大，且为√((3+(1)/(2))2+(1)/(4))=(5√(2))/(2)．
故答案为：(5√(2))/(2)．