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已知直线l1、l2经过K(2,2)(1)如图1,直线l2⊥l1于K.直线l1分别交x轴、y轴于A点、B点,直线l2,分别交x轴、y轴于C、D,求OB+OC的值;(2)在第(1)问的条件下,求S△ACK-S△OCD的值:(3
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已知直线l1、l2经过K(2,2)
(1)如图1,直线l2⊥l1于K.直线l1分别交x轴、y轴于A点、B点,直线l2,分别交x轴、y轴于C、D,求OB+OC的值;
(2)在第(1)问的条件下,求S△ACK-S△OCD的值:
(3)在第(2)问的条件下,如图2,点J为AK上任一点(J不于点A、K重合),过A作AE⊥DJ于E,连接EK,求∠DEK的度数.
(1)如图1,直线l2⊥l1于K.直线l1分别交x轴、y轴于A点、B点,直线l2,分别交x轴、y轴于C、D,求OB+OC的值;
(2)在第(1)问的条件下,求S△ACK-S△OCD的值:
(3)在第(2)问的条件下,如图2,点J为AK上任一点(J不于点A、K重合),过A作AE⊥DJ于E,连接EK,求∠DEK的度数.
▼优质解答
答案和解析
(1) 过K点分别作x轴、y轴的垂线KM、KN,垂足分别为M、N,
则∠KNB=90°,∠KNO=∠KMO=∠NOM=90°,
即∠NKM=90°,
∵K(2,2),
∴KM=KN=2,
∵DK⊥AB,
∴∠BKC=∠AKC=∠NKM=90°,
∴∠CKM=∠BKN=90°-∠NKC,
在△KCM和△KBN中
∴△KCM≌△KBN,
∴CM=BN,
∴OB+OC=ON+BN+OC=ON+CM+OC=ON+OM=2+2=4.
(2) ∵∠AKC=∠MKN=90°,
∴∠AKM=∠NKD=90°-∠CKM,
∵∠KND=∠KMA=90°,
∴在△AMK和△DNK中
∴△AMK≌△DNK,
∴S△AMK=S△DNK,
∴S△ACK-S△OCD=S△AMK+S△CKM-S△DOC=S△DNK-S△DOC+S△CKM=S正方形OMKN=2×2=4.
(3)
由(2)知△AMK≌△DNK.AK=DK,
在DE上截取DF=AE,连接KF,
∵AE⊥EF,DK⊥AB,
∴∠DKJ=∠AEJ=90°,
∵∠KJD=∠EJA,
∴由三角形内角和定理得:∠KDF=∠KAE,
在△KDF和△KAE中
∴△KDF≌△KAE,
∴KF=EK,∠DKF=∠EKA,
∵∠DKA=90°,
∴∠FKE=∠FKA+∠EKA=∠FKA+∠DKF=∠CKA=90°,
∴△KEF是等腰直角三角形,
∴∠DEK=45°.
则∠KNB=90°,∠KNO=∠KMO=∠NOM=90°,
即∠NKM=90°,
∵K(2,2),
∴KM=KN=2,
∵DK⊥AB,
∴∠BKC=∠AKC=∠NKM=90°,
∴∠CKM=∠BKN=90°-∠NKC,
在△KCM和△KBN中
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∴△KCM≌△KBN,
∴CM=BN,
∴OB+OC=ON+BN+OC=ON+CM+OC=ON+OM=2+2=4.
(2) ∵∠AKC=∠MKN=90°,
∴∠AKM=∠NKD=90°-∠CKM,
∵∠KND=∠KMA=90°,
∴在△AMK和△DNK中
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∴△AMK≌△DNK,
∴S△AMK=S△DNK,
∴S△ACK-S△OCD=S△AMK+S△CKM-S△DOC=S△DNK-S△DOC+S△CKM=S正方形OMKN=2×2=4.
(3)
由(2)知△AMK≌△DNK.AK=DK,
在DE上截取DF=AE,连接KF,
∵AE⊥EF,DK⊥AB,
∴∠DKJ=∠AEJ=90°,
∵∠KJD=∠EJA,
∴由三角形内角和定理得:∠KDF=∠KAE,
在△KDF和△KAE中
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∴△KDF≌△KAE,
∴KF=EK,∠DKF=∠EKA,
∵∠DKA=90°,
∴∠FKE=∠FKA+∠EKA=∠FKA+∠DKF=∠CKA=90°,
∴△KEF是等腰直角三角形,
∴∠DEK=45°.
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