设M=（1/a-1）（1/b-1）（1/c-1）,且a+b+c=1其中a,b,c都大于0,求M的范围

Question

设M=（1/a - 1）（1/b - 1）（1/c -1）,且a+b+c=1其中a,b,c都大于0,求M的范围

Answer 1

M=（1/a - 1）（1/b - 1）（1/c -1）
=[(1-a)/a][(1-b)/b][(1-c)/c]
=[(b+c)/a][(a+c)/b][(a+b)/c]
=(b+c)(a+c)(a+b)/abc
=(a²b+a²c+ab²+b²c+ac²+bc²+2abc)/abc
=a/c + a/b + b/c + b/a + c/a + c/b + 2
=2+(a/c+c/a)+(a/b+b/a)+(b/c+c/a)
>=2+2+2+2=8
所以M>=8且仅当a=b=c=1/3时等号成立.