证明：如果三角形ABC中,角B与角C的平分线相等,则AC=AB.证明施泰纳—莱莫斯定理.方法越多越好.

Question

证明：如果三角形ABC中,角B与角C的平分线相等,则AC=AB.
证明施泰纳—莱莫斯定理.方法越多越好.

Answer 1

如图1所示,在△ABC中,BD,CE分别是∠ABC,∠ACB的平分线,且BD＝CE．求证：AB＝AC．
如图所示（图没有）,施泰纳将△BCD与△CBE分别移到△B′C′D′和△B′C′E′的位置,连接D′E′．由BD＝CE,得B′D′＝B′E′,故∠1＝∠2．假设AB≠AC,则AB＜AC或AB＞AC．
如果AB＜AC,那么∠ACB＜∠ABC．
从而 ∠ACE＝ ∠ACB＜ ∠ABC＝∠ABD．
所以 ∠B′D′C′＝∠BDC＝∠A＋∠ABD＞∠A＋∠ACE＝∠BEC＝
∠B′E′C′,
即 ∠B′D′C′＞∠B′E′C′．
又 ∠1＝∠2,
所以 ∠3＞∠4．
所以 C′E′＞C′D′,即BE＞CD．
在△BCD与△CBE中,
BD＝CE,BC＝CB,CD＜BE,
故 ∠CBD＜∠BCE,
即 ∠ABC＜ ∠ACB,
于是∠ABC＜∠ACB,AB＞AC,与假设AB＜AC相矛盾,故AB＜AC是不可能的．
同理可证AB＞AC也是不可能的．
从而,AB＝AC．
施泰纳的参与引起了各国数学家的兴趣．100多年来,该定理的证明层出不穷．20世纪80年代美国《数学教师》杂志提出征解,结果收到了从美国、加拿大、丹麦、以色列、埃塞俄比亚和罗马尼亚寄来的2 000多封信,共提出80多种证法．不仅如此,人们更深入到它的孪生问题：如果一个三角形的两个角的外角平分线（简称外分角线）相等,那么这个三角形是否为等腰三角形?
利用代数方法,数学家们证明了如下的结论：
两外分角线相等且第三角为该三角形的最大内角或最小内角时,此三角形是等腰三角形．