一根长度为L的轻绳一端悬桂在固定点O，另一端拴一质量为m的小球，若在悬点O的正下方，距O点为OC=4L/5的C点处钉一小钉．现将小球拉至细绳绷直在水平位置时，由静止释放小球，如图所示．

Question

一根长度为L的轻绳一端悬桂在固定点O，另一端拴一质量为m的小球，若在悬点O的正下方，距O点为OC=4L/5的C点处钉一小钉．现将小球拉至细绳绷直在水平位置时，由静止释放小球，如图所示．假设细绳始终不会被拉断，求：
（1）细绳碰到钉子前、后的瞬间，细绳对小球的拉力各多大．
（2）要使细绳碰钉子后小球能够做完整的圆周运动，则释放小球时绷直的细绳与竖直方向的夹角至少为多大．

Answer 1

（1）设小球运动到最低点的速度为v₁．
对于小球下摆过程，根据机械能守恒定律有：mgL=(1)/(2)m

v

2 1

设细绳碰到钉子前、后瞬间对球的拉力分别为T₁和T₂，则根据牛顿第二定律有：
   T₁-mg=m(v21)/(L)
   T₂-mg=m(v21)/((1)/(5)L)
解得 T₁=3mg，T₂=11mg
（2）若小球恰好做完整的圆周运动，在最高点，绳的拉力为零，重力提供向心力．设球在最高点时的速度为v₂，
由根据牛顿第二定律，对小球在最高点有：
 mg=m(v22)/((1)/(5)L)
设小球开始下摆时细绳与竖直方向的最小夹角为θ，则对于小球从开始下摆至运动到最高点的过程，应用机械能守恒定律有：
  mg•(2)/(5)L+(1)/(2)m

v

2 2

＝mgL（1-cosθ）
解得θ=60°
答：
（1）细绳碰到钉子前、后的瞬间，细绳对小球的拉力各3mg和11mg．
（2）要使细绳碰钉子后小球能够做完整的圆周运动，释放小球时绷直的细绳与竖直方向的夹角至少60°．