已知椭圆4x2+y2=1及直线y=x+m．（1）当直线与椭圆有公共点时，求实数m的取值范围．（2）求被椭圆截得的最长弦的长度．

Question

已知椭圆4x²+y²=1及直线y=x+m．
（1）当直线与椭圆有公共点时，求实数m的取值范围．
（2）求被椭圆截得的最长弦的长度．

Answer 1

（1）由

4x2+y2＝1

y＝x+m

得：5x²+2mx+m²-1=0，
当直线与椭圆有公共点时，△=4m²-4×5（m²-1）≥0，即-4m²+5≥0，
解得-(√(5))/(2)≤m≤(√(5))/(2)，
所以实数m的取值范围是-(√(5))/(2)≤m≤(√(5))/(2)；
（2）设所截弦的两端点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由（1）知，x₁+x₂=-(2m)/(5)，x₁x₂=(m2−1)/(5)，
所以弦长|AB|=

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