（本小题满分12分）.如图，已知某椭圆的焦点是F1(－4，0)、F2(4，0)，过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且|F1B|+|F2B|=10，椭圆上不同的两点A(x1,y1),

Question

（本小题满分12分）.
如图，已知某椭圆的焦点是 F ₁ (－4，0)、 F ₂ (4，0)，过点 F ₂ 并垂直于 x 轴的直线与椭圆的一个交点为 B ，且| F ₁ B |+| F ₂ B |=10，椭圆上不同的两点 A ( x ₁ , y ₁ ), C ( x ₂ , y ₂ )满足条件：| F ₂ A |、| F ₂ B |、| F ₂ C |成等差数列.

(1)求该弦椭圆的方程；
(2)求弦 AC 中点的横坐标；
(3)设弦 AC 的垂直平分线的方程为 y = kx + m ，求 m 的取值范围.

Answer 1

(1)由椭圆定义及条件知，2 a =| F ₁ B |+| F ₂ B |=10,得 a =5,又 c =4,所以 b = =3.
故椭圆方程为 =1.
(2)由点 B (4, y _B )在椭圆上，得| F ₂ B |=| y _B |= .因为椭圆右准线方程为 x = ,离心率为 ，根据椭圆定义，有| F ₂ A |= ( － x ₁ ),| F ₂ C |= ( － x ₂ )，
由| F ₂ A |、| F ₂ B |、| F ₂ C |成等差数列，得
( － x ₁ )+ ( － x ₂ )=2× ,由此得出： x ₁ + x ₂ =8.
设弦 AC 的中点为 P ( x ₀ , y ₀ ),则 x ₀ = =4.
(3)解法一：由 A ( x ₁ , y ₁ ), C ( x ₂ , y ₂ )在椭圆上.

①
②

 

得                  

①－②得9( x ₁ ² － x ₂ ² )+25( y ₁ ² － y ₂ ² )=0,
即9× =0( x ₁ ≠ x ₂ )
将  ( k ≠0)代入上式，得9×4+25 y ₀ (－ )=0
( k ≠0)
即 k = y ₀ (当 k =0时也成立).
由点 P (4， y ₀ )在弦 AC 的垂直平分线上，得 y ₀ =4 k + m ,所以 m = y ₀ －4 k = y ₀ － y ₀ =－ y ₀ .
由点 P (4， y ₀ )在线段 BB ′( B ′与 B 关于 x 轴对称)的内部，得－ ＜ y ₀ ＜ ,所以－ ＜ m ＜ .

略