设F1、F2分别是椭圆x24+y2＝1的左、右焦点．（1）若P是该椭圆上的一个动点，求PF1•PF2的取值范围；（2）设A（2，0），B（0，1）是它的两个顶点，直线y=kx（k＞0）与AB相交于点D，与椭圆相交

Question

设F₁、F₂分别是椭圆(x2)/(4)+y2＝1的左、右焦点．
（1）若P是该椭圆上的一个动点，求

PF1

•

PF2

的取值范围；
（2）设A（2，0），B（0，1）是它的两个顶点，直线y=kx（k＞0）与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．求四边形AEBF面积的最大值．

Answer 1

（1）由题意可知a=2，b=1，
∵c=√(a2−b2)=√(3)
∴F1(−√(3)，0)，F2(√(3)，0)，设P（x，y）
∴

PF1

＝(−√(3)−x，y)，

PF2

＝(√(3)−x，y)

PF1

•

PF2

＝(−√(3)−x，y)•(√(3)−x，y)=x²+y²-3（3分）
=x2+1−(x2)/(4)−3=(1)/(4)(3x2−8)
由椭圆的性质可知，-2≤x≤2
∴0≤x²≤4，
∴−2≤(3x2−8)/(4)≤1
故-2≤

PF1

•

PF2

≤1（5分）
（2）设E（x₁，kx₁），F（x₂，kx₂），联立

y＝kx

(x2)/(4)+y2＝1

消去y整理可得（1+4k²）x²=4
∴x1＝−(2)/(√(4k2+1))，x2＝(2)/(√(4k2+1))（7分）
∵A（2，0），B（0，1）
∴直线AB的方程为：x+2y-2=0
根据点到直线的距离公式可知，点E，F到直线AB的距离分别为
h1＝(|x1+2kx1−2|)/(√(5))=(2(1+2k+√(1+4k2)))/(√(5(1+4k2)))（8分）
h2＝(|x2+2kx2−2|)/(√(5))=(2(1+2k−√(1+4k2)))/(√(5(1+4k2)))
∴h1+h2＝(4(1+2k))/(√(5(1+4k2)))（9分）
∴|AB|=√(22+1)＝√(5)
∴四边形AEBF的面积为S=(1)/(2)|AB|(h1+h2)=(1)/(2)×√(5)×(4(1+2k))/(√(5(1+4k2)))=(2(1+2k))/(√(1+4k2))＝ 2√((1+4k+4k2)/(1+4k2))（10分）

=2√(1+(4)/(4k+(1)/(k)))≤2√(2)（当且仅当4k=(1)/(k)即k=(1)/(2)时，上式取等号，所以S的最大值为2√(2)（12分）