已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）（1）当椭圆的离心率e=12，一条准线方程为x=4时，求椭圆方程；（2）设P（x，y）是椭圆上一点，在（1）的

Question

已知椭圆 (x2)/(a2) +(y2)/(b2) =1 （a＞b＞0）
（1）当椭圆的离心率 e=(1)/(2) ，一条准线方程为x=4 时，求椭圆方程；
（2）设P（x，y）是椭圆上一点，在（1）的条件下，求z=x+2y的最大值及相应的P点坐标．
（3）过B（0，-b）作椭圆 (x2)/(a2) +(y2)/(b2) =1 （a＞b＞0）的弦，若弦长的最大值不是2b，求椭圆离心率的取值范围．

Answer 1

（1）∵

e=(c)/(a) =(1)/(2)

(a2)/(c) =4

，∴ c=1，a=2，b=

3

，椭圆方程为 (x2)/(4) +(y2)/(3) =1
（2）因为P（x，y）在椭圆 (x2)/(4) +(y2)/(3) =1 上，所以可设 x=2cosθ，y=

3

sinθ ，
则 z=2cosθ+2

3

sinθ=4sin(θ+(π)/(6) )≤4 ，∴z _max =4，此时 θ=2kπ+(π)/(3) (k∈Z) ，
相应的P点坐标为 (1，(3)/(2) ) ．
（3）设弦为BP，其中P（x，y），∵ B P 2 = x 2 +(y+b ) 2 = a 2 -(a2)/(b2) y 2 + y 2 +2by+ b 2
= -(c2)/(b2) y 2 +2by+ a 2 + b 2 =-(c2)/(b2) (y-(b3)/(c2) )+(b4)/(c2) + a 2 + b 2 =f(y)，(-b≤y≤b) ，
因为BP的最大值不是2b，又f（b）=4b ² ，
所以f（y）不是在y=b时取最大值，而是在对称轴 y=(b3)/(c2) 处取最大值，
所以 (b3)/(c2) ＜b ，所以b ² ＜c ² ，解得离心率 e∈((2)/(2) ，1) ．