某养殖场需定期购买饲料，已知该场每天需要饲料200千克，每千克饲料的价格为1.8元，饲料的保管费与其他费用平均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元．（Ⅰ）求该养殖场多少天

Question

某养殖场需定期购买饲料，已知该场每天需要饲料200千克，每千克饲料的价格为1.8元，饲料的保管费与其他费用平均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元．
（Ⅰ）求该养殖场多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少；
（Ⅱ）若提供饲料的公司规定，当一次购买饲料不少于5吨时，其价格可享受八五折优惠（即为原价的85%）．问：为使该养殖场平均每天支付的总费用最少，该场是否应考虑利用此优惠条件？请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）设该场每x（x∈N₊）天购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y₁元．
因为饲料的保管费与其他费用每天比前一天少200×0.03=6（元），
所以x天饲料的保管费用共是6（x-1）+6（x-2）+…+6=3x²-3x（元）．               …（2分）
从而有y1=(1)/(x)(3x2-3x+300)+200×1.8=(300)/(x)+3x+357．…（3分）
因为y1=(300)/(x)+3x+357≥417，…（4分）
当且仅当(300)/(x)=3x，即x=10时，y₁有最小值．
故该养殖场每10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少．   …（5分）
（Ⅱ） 设该场利用此优惠条件，每隔x天购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y₂，
则y2=(1)/(x)(3x2-3x+300)+200×1.8×0.85=(300)/(x)+3x+303．          …（6分）
因一次购买饲料5吨，够用天数为25，所以x≥25．                   …（8分）
令f（x）=(300)/(x)+3x（x≥25）．
因为f′(x)=-(300)/(x2)+3=(3(x-10)(x+10))/(x2)，…（9分）
所以当x≥25时，y₂′>0，即函数y₂在[25，+∞）上是增函数…（10分）
∴当x=25时，y₂取得最小值390
∵390<417，故该厂应该利用此优惠条件．             …（12分）