一个半圆和长方形组成的铁皮,长方形的边AD为半圆的直径,O为半圆的圆心,AB=1,BC=2,现要将此铁皮剪出一个三角形PMN,使得PM=PN,MN⊥BC(1)设∠MOD=30°求三角形铁皮的面积(2)求剪下的铁皮三角形PMN的

Question

一个半圆和长方形组成的铁皮,长方形的边AD为半圆的直径,O为半圆的圆心,AB=1,BC=2,现要将此铁皮剪出一个三角形PMN,使得PM=PN,MN⊥BC
(1)设∠MOD=30°求三角形铁皮的面积
(2)求剪下的铁皮三角形PMN的面积的最大值

Answer 1

你这没有图,发挥你的想象：
设AD与MN相交于H点,则：
三角形PMN的高AH=AO+OH=1+0.5*根号3
MN=MH+HN=0.5+1
所以：S=MN*AH/2=1.5*(1+0.5*根号3)/2
求最大值：将30角度换成角MOD（简称角O）,则
三角形PMN的高AH=AO+OH=1+1*cosO=1+cosO
MN=MH+HN=1*sinO+1=1+sinO
所以：S=(1+cosO)(1+sinO)/2
=(1+sinO+cosO+sinOcosO)/2
=(1/2+1/2+sinOcosO+sinO+cosO)/2
=(1/2+1/2(1+2sinOcosO)+sinO+cosO)/2
=(1/2(sinO^2+cosO^2+2sinOcosO)+(sinO+cosO)+1/2)/2
=((sinO^2+2sinOcosO+conO^2)+2(sinO+cosO)+1)/4
=((sinO+cosO)^2+2(sinO+cosO)+1)/4
令sinO+cosO=x
S=(x^2+2x+1)/4
S=1/4*(x+1)^2
当x取最大值时,面积S最大.既求sinO+cosO的最值
sinO+cosO最值为根号2(角O为45度时)
所以：Smax=(3+2*根号2)/4
在这个上面数学题真痛苦!