变上限积分的问题如果变上限积分的上限为X,但是表达式中的的积分变量为t,但是积分表达式中又含有X,在这种情况下能直接积分或者求导吗?为什么?我听一些老师讲不可以,需要先把表达式中

Question

变上限积分的问题
如果变上限积分的上限为X,但是表达式中的的积分变量为t,但是积分表达式中又含有X,在这种情况下能直接积分或者求导吗?为什么?我听一些老师讲不可以,需要先把表达式中的x想办法去掉才可以,但是没有弄清楚为什么?

Answer 1

不可以,先看能不能把x和t分离,比如∫(x-t^2)f(t)dt 这种直接写成x∫f(t)dt -∫t^2f(t)dt.再求导,前面那个x∫f(t)dt相当于用求导乘法法则.后面那个只含t.
不过上面那种情况考试的时候不多
最多的就是要你变量替换 比如 ∫f(x-t)dt(0到x)
这时候求导,则令u=x-t 则 ∫f(t-x)dt(积分限0到x)=-∫f(u)du(积分限-x到0)
再求导就好求了.（显然导数不是f'(0)）
至于为什么
因为对于积分而言x是常量 但对于求导 x是变量 所以只要先分析一下x在整个式子不同位置的不同含义就好. 如果这里给出的不是一个抽象函数而是具体的比如∫(x-t)^2dt(0到x),你先积分出来,再求导看看!你就会懂了