要造一个圆柱形油罐,体积为V,问底面半径r和高h等于多少时,才能使用料最省?此时底的直径和高的比是多少?

Question

要造一个圆柱形油罐,体积为V,问底面半径r和高h等于多少时,才能使用料最省?此时底的直径和高的比是多少?

Answer 1

V=π*r^2*h 所以 h=V/(πr^2)
罐的表面积 等于 两个底面积 加上 一个侧面,即：
S= 2πr^2 + 2πr*h 把上面的 h=V/(πr^2) 代入得
S= 2πr^2 + 2V/r
对S求导,并令其为0,得 4πr - 2V/r^2 = 0
解方程,得 r=[V/(2π)]^(1/3) 代入 h=V/(πr^2)
求得,h= 2[V/(2π)]^(1/3) =2r
所以,当r=[V/(2π)]^(1/3) 、h= 2[V/(2π)]^(1/3) 时,用料最省,
此时 直径/高=1/1