P是双曲线C：x²/a²-y²/b²=1(a,b＞0)上的一点,C的半焦距为c,M、N分别是圆（x+c）²+y²=(c-a)²,（x-c)²+y²=(c-a)²上的一点,若|PM|-|PN|的最大值为4a,则C的离心率为?（1,2,√2

Question

P是双曲线C：x²/a²-y²/b²=1(a,b＞0)上的一点,C的半焦距为c,M、N分别是圆（x+c）²+y²=(c-a)²,（x-c)²+y²=(c-a)²上的一点,若|PM|-|PN|的最大值为4a,则C的离心率为?
（1,2,√2,√3）

Answer 1

（x+c）²+y²=(c-a)²,（x-c)²+y²=(c-a)²
|PM|-|PN|取得最大值时是最大的|PM|,减去最小的|PN|
最大的|PM|=|PF1|+c-a
最小的|PN|=|PF2|-c+a
∴|PF1|+c-a-|PF2|+c-a=4a
∵ |PF1|-|PF2|=2a
∴2a+2c-2a=4a
∴c=2a,e=2