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每个矩阵都可表示成一个对称矩阵和一个反对称矩阵之和
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每个矩阵都可表示成一个对称矩阵和一个反对称矩阵之和
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答案和解析
证明：设A为任何一个n级的方阵,则
A=(A+A')/2+(A-A')/2
而[(A+A')/2]'=1/2*(A'+(A')‘)=1/2(A+A')
所以(A+A')/2是对称矩阵,
而
[(A-A')/2]'=1/2*(A'-(A')‘)=-1/2(A-A')
所以(A-A')/2是反对称矩阵,
所以矩阵A可分解成一个对称矩阵与反对称矩阵的和.
A=(A+A')/2+(A-A')/2
而[(A+A')/2]'=1/2*(A'+(A')‘)=1/2(A+A')
所以(A+A')/2是对称矩阵,
而
[(A-A')/2]'=1/2*(A'-(A')‘)=-1/2(A-A')
所以(A-A')/2是反对称矩阵,
所以矩阵A可分解成一个对称矩阵与反对称矩阵的和.
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