已知圆C:x^2+y^2=r^2(r>0)经过点(1,根号3)（1）求圆得直线方程（2）是否存在经过点（-1,1）的直线l,它与圆C相交于A,B两个不同的点,且满足向量MO=二分之一倍向量OA+二分之根号下3倍向量OB（O为坐标

Question

已知圆C:x^2+y^2=r^2(r>0)经过点(1,根号3)
（1）求圆得直线方程
（2）是否存在经过点（-1,1）的直线l,它与圆C相交于A,B两个不同的点,且满足向量MO=二分之一倍向量OA+二分之根号下3倍向量OB（O为坐标原点）关系得点M也在圆C上,如果存在,求出直线方程；如果不存在,请说明理由

Answer 1

（1）由圆C：x2+y2=r2,再由点（1,）在圆C上,得r2=12+（）2=4
所以圆C的方程为
x2+y2=4；
（2）假设直线l存在,
设A（x1,y1）,B（x2,y2）,
M（x0,y0）
①若直线l的斜率存在,设直线l的方程为：
y-1=k（x+1）,
联立消去y得,
（1+k2）x2+2k（k+1）x+k2+2k-3=0,
由韦达定理得x1+x2=-=-2+,
x1x2==1+,
y1y2=k2x1x2+k（k+1）（x1+x2）+（k+1）2=-3,
因为点A（x1,y1）,B（x2,y2）在圆C上,
因此,得x12+y12=4,
x22+y22=4,
由=+得x0=,y0=,
由于点M也在圆C上,
则=4,
整理得,+3+x1x2+y1y2=4,
即x1x2+y1y2=0,所以1++（-3）=0,
从而得,k2-2k+1=0,即k=1,因此,直线l的方程为
y-1=x+1,即x-y+2=0,
②若直线l的斜率不存在,
则A（-1,）,B（-1,-）,M；
+=4-≠4,
故点M不在圆上与题设矛盾
综上所知：k=1,直线方程为x-y+2=0