一根均匀质杆,质量m,长度为L,在铅垂平面内,一端沿着水平地面,一端沿着竖直墙壁,与墙壁夹角α,无初速度滑下,不计摩擦力,求开始滑动瞬时,地面与墙壁对杆的约束力.求高手帮忙解答,我想N久

Question

一根均匀质杆,质量m,长度为L,在铅垂平面内,一端沿着水平地面,一端沿着竖直墙壁,与墙壁夹角α ,无初速度滑下,不计摩擦力,求开始滑动瞬时,地面与墙壁对杆的约束力.
求高手帮忙解答,我想N久都想不出来啊……老师说有3种方法可以做,答得好我可以多给分.

Answer 1

设：x沿水平,y沿竖直；x方向的加速度和约束力分别为a和N,y方向的则为a'和N'；杆质心坐标为(x,y).
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解1：x=(L/2)sinα,a=d(dx/dt)/dt,所以,a=(L/2)d[cosα(dα/dt)]/dt=(L/2)[(-sinα)(dα/dt)(dα/dt)+cosα*d(dα/dt)/dt]；t=0时,dα/dt=0,（令β=d(dα/dt)/dt）,所以,此瞬时的a=(L/2)βcosα.
同理,y=(L/2)cosα,a'=d(dy/dt)/dt……a'=-(L/2)βsinα.
由牛二定律可列：N=ma,N'-mg=ma'；由转动定理可列：合力矩M=Iβ,即N'[(L/2)sinα]-N[(L/2)cosα]=(mLL/12)*d(dα/dt)/dt,整理得：β=(6/mL)(N'sinα-Ncosα).
把a=(L/2)βcosα与a'=-(L/2)βsinα代入N=ma和N'-mg=ma',再把β=(6/mL)(N'sinα-Ncosα)也代入,整理得：N'=(1+3cosαcosα)mg/4,N=3sin(2α)mg/8.
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解2：（令γ=dα/dt,β=d(dα/dt)/dt=dγ/dt,x、y取值见解1,D表示偏微分）
系统动能T=(m/2)[(dx/dt)^2+(dy/dt)^2]+(mLL/24)(dα/dt)^2=(mLL/6)γγ,系统势能V=mgy=(mgL/2)cosα,所以,系统拉格朗日量Lg=T-V=(mLL/6)γγ-(mgL/2)cosα.
由拉格朗日方程DLg/Dα=d(DLg/Dγ)/dt及上段Lg表式,可得：(mgL/2)sinα=mLLβ/3,即β=3g*sinα/2L,将此代入解1中已得到的a=(L/2)βcosα与a'=-(L/2)βsinα以及N=ma和N'-mg=ma',可直接求得N'=(1+3cosαcosα)mg/4,N=3sin(2α)mg/8,而不必像解1中那样联立方程……