微分方程的特解有什么意义?通过初值解得的特解方程还是函数吗?那它的定义域又有什么确定?特解中的lnx的绝对值可以随意去掉吗?

Question

微分方程的特解有什么意义?通过初值解得的特解方程还是函数吗?那它的定义域又有什么确定?特解中的lnx的绝对值可以随意去掉吗?

Answer 1

非齐次线性方程组（包括微分方程组）的特解,就是其解空间里的一个向量,也就是其任意一个基础解系的线性组合.比方说x+y+z=1,x+y=2这个方程组,它的x和y可以取x+y=2这条线上的任意一点,因此其解空间就是三维空间中的一条线（x+y=2,z=-1）,而其上任意一点,就是原方程组的一个特解.
有了一个特解,方程就已经解完了.将特解带入方程,得到的是一个0=0的玩意,应该不能叫函数了.顺带一提,函数的定义是随某些确定的定义域已知的自变量（数集）的变化而变化的非空数集,约束条件很多；而方程的定义仅仅是“含有未知数的等式”,因此并不能将方程都看成函数.
由上可知,特解是解空间中一个点的概念,如果你求得的特解lnx是带绝对值的,那只不过是求出了两个点,方法正确的话,两个都是特解,因此绝对值可以打开.