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求微分方程dy/dx=y/x-1/2(y/x)^3当y(1)=1时的特解为多少?
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求微分方程dy/dx=y/x-1/2(y/x)^3当y(1)=1时的特解为多少?
▼优质解答
答案和解析
设u=y/x,则
du/dx=(xdy/dx-y)/x^2,
把方程代入上式,得
du/dx=-u^3/(2x),
∴-2du/u^3=dx/x,
1/u^2=lnx+c,
y(1)=1时u(1)=1,代入上式,得c=1.
∴u^2=1/(lnx+1),
∴y=土x/√（lnx+1),
由y(1)=1得y=x/√（lnx+1).
du/dx=(xdy/dx-y)/x^2,
把方程代入上式,得
du/dx=-u^3/(2x),
∴-2du/u^3=dx/x,
1/u^2=lnx+c,
y(1)=1时u(1)=1,代入上式,得c=1.
∴u^2=1/(lnx+1),
∴y=土x/√（lnx+1),
由y(1)=1得y=x/√（lnx+1).
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