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y''-5y'+6y=sinx的特解是多少?
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y''-5y'+6y=sinx的特解是多少?
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答案和解析
当非齐次项为 Asinβx 或 Bcosβx 的形式时,
若 ±βi 不是特征方程的根,那么特解形式为 acosβx+bsinβx
若±βi是特征方程的根,那么特解形式为 x(acosβx+bsinβx)
特征方程 λ² - 5λ+6=0 有根 2,3
原方程特解形式 y = acosx + bsinx
y' = -asinx + bcosx
y'' = -acosx - bsinx
代入原方程
(-acosx - bsinx) - 5(-asinx+bcosx)+6(acosx+bsinx) = sinx
(5a-5b)cosx +(5a+5b)sinx = sinx
∴5a-5b=0 ,5a+5b=1
a=b= 1/4
特解为 y = 1/4 (cosx+sinx)
若 ±βi 不是特征方程的根,那么特解形式为 acosβx+bsinβx
若±βi是特征方程的根,那么特解形式为 x(acosβx+bsinβx)
特征方程 λ² - 5λ+6=0 有根 2,3
原方程特解形式 y = acosx + bsinx
y' = -asinx + bcosx
y'' = -acosx - bsinx
代入原方程
(-acosx - bsinx) - 5(-asinx+bcosx)+6(acosx+bsinx) = sinx
(5a-5b)cosx +(5a+5b)sinx = sinx
∴5a-5b=0 ,5a+5b=1
a=b= 1/4
特解为 y = 1/4 (cosx+sinx)
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