线性代数为什么向量组的线性相关必须是它所构成的矩阵的秩小于向量个数呢?请说明的简单点~

Question

线性代数
为什么向量组的线性相关必须是它所构成的矩阵的秩小于向量个数呢?请说明的简单点~

Answer 1

首先理解这样一个问题..
向量组组成一个矩阵,对这个矩阵进行基本变换的过程,就相当于对一个多元一次方程组进行处理消元的过程.
一个多元一次方程组进行消元,如果消来消去,少了一个或几个方程,例如
3x+2y+z=6
x+y+z=3
4x+3y+2z=9
这个方程组,
把第三个方程 减去 前两个方程相加的方程,第三个方程就变成0=0,这样就少了一个方程.
这种情况能说明第三个方程可以由前两个方程来表示...
同样的道理,向量构成的矩阵进行初等变换的时候,如果处理以后少了一行或几行（也就是“矩阵的秩小于向量个数”）,就可以说明其中的某一个或几个向量可以由其他向量来表示,也就是向量组线性相关.
如果处理后没有全为0的行,说明没有任何一个向量可以有其他向量表示,也就是向量组线性无关.
我感觉这是最简单的理解方法了~祝你考研成功!