关于一个秩为n-1的矩阵的伴随矩阵一个n阶矩阵,如果他的秩为n-1,那么他的伴随矩阵的表达式是什么?

Question

关于一个秩为n-1的矩阵的伴随矩阵
一个n阶矩阵,如果他的秩为n-1,那么他的伴随矩阵的表达式是什么?

Answer 1

n=1是平凡的,以下只讨论n>1.
若A是n阶矩阵且r(A)=n-1,B是A的伴随阵,那么
AB=BA=det(A)*In=0
于是B的列属于A的零空间,B的行属于A'的零空间.
注意到A和A'的零空间都是1维的,所以B一定形如cxy'的秩1矩阵(显然B非零),其中x和y是满足
Ax=0, y'A=0, x'y=1
的非零向量,余下的问题就是确定系数c,事实上c=tr(B)={A的非零特征值的积},而实际计算时只需要求出B的任意一个非零元就能唯一确定c.