若曲线C1：y=x2与曲线C2：y=aex（a＞0）存在公共切线，则a的值为．

Question

若曲线C₁：y=x²与曲线C₂：y=ae^x（a＞0）存在公共切线，则a的值为 ___ ．

Answer 1

设公切线与曲线C₁切于点（x1，x12），与曲线C₂切于点（x2，aex2），
则2x1=aex2=(aex2-x12)/(x2-x1)，将aex2=2x1代入2x1=aex2=(aex2-x12)/(x2-x1)，
可得2x₂=x₁+2，∴a=(4(x2-1))/(ex2)．
∵a＞0，∴x₂＞1，记f（x）=(4(x-1))/(ex)，（x＞1），求得f′(x)=(4(2-x))/(ex)，
可得f（x）在（1，2）上递增，在（2，+∞）上递减．
∴f（2）是f（x）的最大值，∴a的范围是（0，(4)/(e2)]．