按下面规则扩充新数：已有两数a、b，可按规则c=ab+a+b扩充一个新数，在a、b、c三个数中任取两数，按规则又可扩充一个新数，…每扩充一个新数叫做一次操作．现有数1和4．（1）求按上述规

Question

按下面规则扩充新数：已有两数a、b，可按规则c=ab+a+b扩充一个新数，在a、b、c三个数中任取两数，按规则又可扩充一个新数，…每扩充一个新数叫做一次操作．现有数1和4．
（1）求按上述规则操作三次得到扩充的最大新数；
（2）能否通过上述规则扩充得到新数1999，并说明理由．

Answer 1

（1）第一次只能得到1×4+1+4=9；因为要求最大新数，所以，第二次取4和9，得到4×9+4+9=49；同理，第三数取9和49，就得到扩充三次的最大数为499．
（2）1999可以扩充得到．
∵c=ab+a+b=（a+1）（b+1）-1，
∴c+1=（a+1）（b+1），
取数a、c可得新数
d=（a+1）（c+1）-1=（a+1）（b+1）（a+1）-1=（a+1）²（b+1）-1，
即d+1=（a+1）²（b+1），
同理可得e=（b+1）（c+1）=（b+1）（a+1）-1，
∴e+1=（b+1）²（a+1），
设扩充后的新数为x，则总可以表示为x+1=（a+1）^m•（b+1）ⁿ，式中m、n为整数，
当a=1，b=4时，x+1=2^m×5ⁿ，
又∵1999+1=2⁴×5³，
故1999可以通过上述规则扩充得到．