在平面直角坐标系xOy中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为等值点．例如点（1，1）．（-2，-2）．（3，3），…，都是等

Question

在平面直角坐标系xOy中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为等值点．例如点（1，1）．（-2，-2）．（ √(3)， √(3)），…，都是等值点．已知二次函数y=ax²+4x+c（a≠0）的图象上有且只有一个等值点（ (3)/(4)， (3)/(4)），且当m≤x≤3时，函数y=ax²+4x+c- (15)/(8)（a≠0）的最小值为-9，最大值为-1，则m的取值范围是___．

Answer 1

令ax²+4x+c=x，即ax²+3x+c=0，
由题意，△=3²-4ac=0，即4ac=9，
又方程的根为(-3)/(2a)=(3)/(4)，
解得a=-2，c=-(9)/(8)．                           
故函数y=ax²+4x+c-(15)/(8)=-2x²+4x-3=-2（x-1）²-1，
如图，该函数图象顶点为（1，-1），

由于函数图象在对称轴x=1左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小，
且当m≤x≤3时，函数y=-2x²+4x-3的最小值为-9，最大值为-1，
∴-1≤m≤1，
故答案为：-1≤m≤1．