（2012•河南）如图，在平面直角坐标系中，直线y=12x+1与抛物线y=ax2+bx-3交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3．点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与A、B点重合），过点P作x轴的垂线

Question

（2012•河南）如图，在平面直角坐标系中，直线y=(1)/(2)x+1与抛物线y=ax²+bx-3交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3．点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与A、B点重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PD⊥AB于点D．
（1）求a、b及sin∠ACP的值；
（2）设点P的横坐标为m；
①用含有m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；
②连接PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m的值，使这两个三角形的面积之比为9：10？若存在，直接写出m的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）由(1)/(2)x+1=0，得x=-2，∴A（-2，0）．
由(1)/(2)x+1=3，得x=4，∴B（4，3）．
∵y=ax²+bx-3经过A、B两点，
∴

(−2)2•a−2b−3＝0

42•a+4b−3＝3

∴

a＝(1)/(2)

b＝−(1)/(2)

，
则抛物线的解析式为：y=(1)/(2)x²-(1)/(2)x-3，
设直线AB与y轴交于点E，则E（0，1）．
∵PC∥y轴，
∴∠ACP=∠AEO．
∴sin∠ACP=sin∠AEO=(OA)/(AE)=(2)/(√(5))=(2√(5))/(5)．

（2）①由（1）知，抛物线的解析式为y=(1)/(2)x²-(1)/(2)x-3．则点P（m，(1)/(2)m²-(1)/(2)m-3）．
已知直线AB：y=(1)/(2)x+1，则点C（m，(1)/(2)m+1）．
∴PC=(1)/(2)m+1-（(1)/(2)m²-(1)/(2)m-3）=-(1)/(2)m²+m+4=-(1)/(2)（m-1）²+(9)/(2)
Rt△PCD中，PD=PC•sin∠ACP=[-(1)/(2)（m-1）²+(9)/(2)]•(2√(5))/(5)=-(√(5))/(5)（m-1）²+(9√(5))/(5)
∴PD长的最大值为：(9√(5))/(5)．

②如图，分别过点D、B作DF⊥PC，BG⊥PC，垂足分别为F、G．
∵sin∠ACP=(2√(5))/(5)，
∴cos∠ACP=(1)/(√(5))，
又∵∠FDP=∠ACP
∴cos∠FDP=(DF)/(DP)=(1)/(√(5))，
在Rt△PDF中，DF=(1)/(√(5))PD=-(1)/(5)（m²-2m-8）．
又∵BG=4-m，
∴(S△PCD)/(S△PBC)=(DF)/(BG)=(−(1)/(5)(m2−2m−8))/(4−m)=((1)/(5)(m−4)(m+2))/(m−4)=(m+2)/(5)．
当(S△PCD)/(S△PBC)=(m+2)/(5)=(9)/(10)时，解得m=(5)/(2)；
当(S△PCD)/(S△PBC)=(m+2)/(5)=(10)/(9)时，解得m=(32)/(9)．