在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,O为BC的中点,∠MON=45°,∠MON的两边交直线AB于M、N.(1)如图1,M、N在边AB上,求证；2AN×BM=AB²（2）如图2或如图3,M、N中有一点在边AB上,另一点在AB或BA的延长线上（1）中的

Question

在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,O为BC的中点,∠MON=45°,∠MON的两边交直线AB于M、N.
(1)如图1,M、N在边AB上,求证；2AN×BM=AB²
（2）如图2或如图3,M、N中有一点在边AB上,另一点在AB或BA的延长线上（1）中的结论成立吗?

Answer 1

(1) 角MBO=角OAN=45度
角ANO=角MBO+角BNO=45度+角BNO=角BOM
三角形ANO与三角形BOM三个角对应相等
=>上述两个三角形相似.
=>AN:OB=AO:BM
=>AN×BM=OA×OB=AB²/2 (OAB为等腰直角三角形)
(2)对应角关系仍然存在,三角形相似结论成立,上面等式成立.