一元二次方程实际问题1题某种电脑病毒传播非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析,每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑?若病毒得不

Question

一元二次方程实际问题1题
某种电脑病毒传播非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析,每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑?若病毒得不到有效控制,3轮感染后,被感染的电脑会不会超过700台?
请回答：第一轮感染了1+x台电脑
第二轮感染了（1+x）x台电脑
第三轮感染了多少台电脑（用代数式表示）请说出原因
第四轮呢（用代数式表示）请说出原因

Answer 1

设：每轮感染中,平均一台电脑可以感染x台电脑.
每轮感染新增被感染电脑数,构成等比数列,公比是x
1、原始情况：
有1台电脑被感染；
2、第一轮感染后：
新增被感染电脑x台,共有(1+x)台电脑被感染；
3、第二轮感染后：
新增被感染电脑(1+x)x台,共有(1+x)x+(1+x)台电脑被感染.
而：(1+x)x+(1+x)=x²+2x+1=(x+1)²
4、第三轮感染后：
新增被感染电脑x(x+1)²台,共有x(x+1)²+(x+1)²台电脑被感染.
而：x(x+1)²+(x+1)²=(x+1)(x+1)²=(x+1)³
……
由以上,自然得到假设：第n轮感染后,共有(x+1)^n台电脑被感染.
命题：第n轮后被感染的电脑总数是f(n),有：f(n)=(x+1)^n
下面,在用数学归纳法,对这个命题进行证明.
证：
1、n=1时：新增被感染电脑x台,共有(1+x)台电脑被感染
即：f(1)=x+1=(x+1)^1,命题成立.
2、设：n=k时命题成立,即：f(k)=(x+1)^k
3、当n=k+1时：
依据题目所给感染条件,得到新增被感染电脑的台数：xf(k),
此时,被感染的电脑总台数是：f(k+1)=xf(k)+f(k)=f(k)(x+1)=[(x+1)^k](x+1)=(x+1)^(k+1)
即：f(k+1)=(x+1)^(k+1)
因此,命题成立.
证毕.

由上述证明,有：f(4)=(x+1)^4
即：第四轮,共有(x+1)^4台电脑被感染.