怎样的正多边形才能进行镶嵌,要满足哪些公式,不同的两种四边形怎样组合才能进行平面镶嵌

Question

怎样的正多边形才能进行镶嵌,要满足哪些公式,不同的两种四边形怎样组合才能进行平面镶嵌

Answer 1

1、用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接,彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片,
这就是平面图形的密铺,又称做平面图形的镶嵌.
2、用相同的正多边形铺地板.对于给定的某种正多边形,它能否拼成一个平面图形,而不留一点空隙?显然问题的关键在于分析能用于完整铺平地面的正多边形的内角特点.当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角360°时,就铺成一个平面图形.事实上,正n边形的每一个内角为(n-2)180,要求k个正n边形各有一个内角拼于一点,恰好覆盖地面,这样360°=k(n-2)180/n,而k是正整数,所以n只可能为3,4,6.因此,用相同的正多边形地板砖铺地面,只有正三角形,正四边形,正六边形的地砖可以用.我们知道,任意四边形的内角和都等于360°.所以用一批形状大小完全相同但不规则的四边形瓷砖也可以铺成无空隙的地板.用任意相同的三角形可以铺满地面吗?请同学们拼拼看.
3、用两种或两种以上的正多边形拼地板我们已知知道.有些相同的正多边形能够铺满地面,而有些则不行.实际上我们还看到有不少用两种以上边长相等的正多边形组合成的平面图案.如教材上所列的几种情况.为什么这些正多边形组合能够密铺地面?这个问题实质上是相关正多边形“交接处各角之和能否拼成周角”的问题.
我们知道全等的任意三角形、四边形都可以进行平面镶嵌（如图1、2）.而大于等于五边的只有特殊多边形才能平面镶嵌.凸多边形能进行平面镶嵌的边数都少于7边.多少年来,寻找特殊的五边形进行平面镶嵌就成了许多数学家的梦想.
让几个角相加等于360°.说起倒轻松,还是让我们回来看看为什么全等的任意三角形、四边形都可以进行平面镶嵌吧.图1是由全等的任意三角形组成的平面镶嵌,仔细观察我们发现,这个图形是由三角形1、2组成的平行四边形进行平移得到的.我们把它叫做特征多边形.图2是全等的任意四边形的平面镶嵌的特征多边形.研究发现,这些特征多边形的对应边是平行的.换句话说就是：如果我们能把特征多边形进行适当的全等分割就能得到可以进行平面镶嵌的多边形.
如图3,正六边形是一个可以进行平面镶嵌特征多边形把它如图三等分,就可以得到可以进行平面镶嵌的五边形.如图4,是一个可以进行平面镶嵌特征多边形把它如图四等分就可以得到可以进行平面镶嵌的五边形.这是圣地亚哥的妇女玛乔里��赖斯1977年找到的.
如果允许有一组对边平行可以进行平面镶嵌的图形就太多了木工师傅就是把这种木料一块一块拼成大木板的.