（20分）质量为m的一簇离子在P点以同一速度v向不同方向散开（如图）。垂直纸面的均匀磁场B将这些离子聚焦于R点，距离PR＝2a，离子的轨道应是对称的。

Question

（ 20 分）质量为 m 的一簇离子在 P 点以同一速度 v 向不同方向散开（如图）。垂直纸面的均匀磁场 B 将这些离子聚焦于 R 点，距离 PR ＝ 2 a ，离子的轨道应是对称的。试确定磁场区的边界。

Answer 1

解析 ：在磁场 B 中，作用于电量为 Q 、速度为 v 的质点上的洛仑兹力为 QvB 。结果使粒子在半径为 r 的圆轨道上运动，即：

　　

质量为 m 的所有粒子都在半径为 的相同的圆轨道上运动。离开磁场后，它们将沿最后的切线方向直线飞行。磁场边界应按所有离子都打在同一点 R 的要求去寻找。要解决的数学问题是，粒子应从这些半径为 r 的圆的何处离开，才能使它们的切线在 R 点相交。这些半径为 r 的圆的圆心都位于 y 轴上（如图 1 所示）

在半径为 r 的圆轨道上运动的粒子，在坐标为（ x ， y ）的 A 点离开磁场，沿切线飞向 R 。由相似三角形得到：　　　　　　             

　               

圆的方程为

消去（ y － b ），得到满足条件的 A 点的集合，因此，表示磁场边界的函数为：

　　　　　　

这是一个四次函数。只要在第一象限画出这个函数的曲线，把它对 y 轴反演即可。

表示磁场边界的函数的形式取决于给定的距离 a 和半径 r 的相对大小（见图 2 （ a ），（ b ），（ c ））。

　　如果半径 r 小于 a （小速度强磁场），则磁场边界无限延伸，向任何方向出发的离子也都能聚焦 ^① 。

　　如果半径 r 等于 a ，所有的离子也都能聚焦 ^② 。磁场边界在 P 和 R 点处垂直出发，处在有限的范围内。

如果半径 r 大于 a ，边界更为平坦。那些出发方向比 P 点切线更陡的离子不能达到 R 点。

（注： ^① 原文“向任何方向出的离子都能聚焦”的结论不妥。在 r ＜ a 时， v 与 x 轴夹角大于 90 ⁰ 的离子无法聚焦。 ^② 在 r ＝ a 时，“所有的离子也都能聚焦” 的结论也不妥。 v 与 x 轴夹角大于 90 ⁰ 的离子也无法聚焦。）