如图所示，倾角为θ的无限长斜面上PQ部分粗糙，且长为3L，其余部分都光滑．质量均为m的四个小物块（可视为质点）置于斜面，每相邻两物块间有一长为L且平行于斜面的轻杆，每根杆的上

Question

如图所示，倾角为θ的无限长斜面上PQ部分粗糙，且长为3L，其余部分都光滑．质量均为m的四个小物块（可视为质点）置于斜面，每相邻两物块间有一长为L且平行于斜面的轻杆，每根杆的上端与物块粘连而下端与物块不粘连，各物块与斜面PQ段的动摩擦因数均为2tanθ．A、B、C、D同时释放时A恰在P点，且各物块有相同的沿斜面向下的初速度，最终四个物块均能通过Q点．重力加速度为g．求：

（1）A在PQ段运动刚达到最大速度时的位置；
（2）物块C刚过P点时，杆对物块D的弹力；
（3）要使四个物块均能通过Q点最初释放各物块时的初速度应该满足的条件．

Answer 1

（1）由整体法，将四物块及杆看成整体，当它们下滑到下滑力等于摩擦力时运动速度达最大值，有：
μ•nmgcosθ=4mgsinθ…①
得到：n=2…②
即滑块B刚过P点，此时A离P点的距离为L…③
（2）对四物块及杆整体用牛顿第二定律得：
  μ•3mgcosθ-4mgsinθ=4ma…④
得到 a=(1)/(2)gsinθ，方向沿斜面向上…⑤
对物块D用牛顿第二定律得：
F-mgsinθ=ma…⑥
解得 F=(3)/(2)mgsinθ，方向沿斜面向上…⑦
（3）要使四个物块都能滑出Q处，物块D过Q点时它的速度应大于零．物块A离开Q点时，物块发生分离．设物块D刚过P点时的速度为v
对物块D从P到Q的过程用动能定理得
mgsinθ×3L-μmgcosθ×3L=0-(1)/(2)mv² …⑧
解得：v=√(6gLsinθ)…⑨
设开始下滑时的初速度为v₀，对整体进入PQ段过程用动能定理：
4mgsinθ×3L-μmgcosθ（3L+2L+L）=(1)/(2)×4mv²-(1)/(2)×4mv₀² …⑩
解得：v₀=v=√(6gLsinθ)…（11）
即释放时，初速度应大于√(6gLsinθ)…（12）
答：（1）A在PQ段运动刚达到最大速度时的位置离P点的距离为L；
（2）物块C刚过P点时，杆对物块D的弹力是(3)/(2)mgsinθ，方向沿斜面向上；
（3）要使四个物块均能通过Q点最初释放各物块时的初速度应应大于√(6gLsinθ)．