如图所示，AB是倾角为θ=30°的粗糙直轨道，BCD是光滑的圆弧轨道，AB恰好在B点与圆弧相切，圆弧的半径为R，一个质量为m的物体（可以看做质点）从直轨道上的P点由静止释放，结果它能在两

Question

如图所示，AB是倾角为θ=30°的粗糙直轨道，BCD是光滑的圆弧轨道，AB恰好在B点与圆弧相切，圆弧的半径为R，一个质量为m的物体（可以看做质点）从直轨道上的P点由静止释放，结果它能在两轨道间做往返运动．已知P点与圆弧的圆心O等高，物体与轨道AB间的动摩擦因数为μ．求：

（1）物体做往返运动的整个过程中在AB轨道上通过的总路程；
（2）最终当物体通过圆弧轨道最低点E时，对圆弧轨道的压力；
（3）为使物体能顺利到达圆弧轨道的最高点D，释放点距B点的距离L′至少多大．

Answer 1

（1）对整体过程，由动能定理得：
   mgR•cosθ-μmgcosθ•s=0        
所以物体在AB轨道上通过的总路程  s=(R)/(μ)．
（2）最终物体以B（还有B关于OE的对称点）为最高点，在圆弧底部做往复运动，对B→E过程，由动能定理得：
  mgR（1-cos θ）=(1)/(2)mv_E²  ①
在E点，由牛顿第二定律得：F_N-mg=m(v2E)/(R) ②
由①②得 F_N=（3-2cos θ）mg=(3-√(3))mg
（3）物体刚好到D点，由牛顿第二定律有：
  mg=m(v2D)/(R)  ③
对全过程由动能定理得：
  mgL′sin θ-μmgcos θ•L′-mgR（1+cos θ）=(1)/(2)mv_D² ④
由③④得：L′=(3+2cosθ)/(2(sinθ-μcosθ))•R=((3+√(3))R)/(1-√(3)μ)
答：
（1）物体做往返运动的整个过程中在AB轨道上通过的总路程是(R)/(μ)；
（2）最终当物体通过圆弧轨道最低点E时，对圆弧轨道的压力是(3-√(3))mg；
（3）为使物体能顺利到达圆弧轨道的最高点D，释放点距B点的距离L′至少是((3+√(3))R)/(1-√(3)μ)．