求积分根号下sin2xdx不是平方,是sin2x,就是化开是2sinxcosx那个,尝试了用换元,然后分部什么的,做不下去.然后又给下面添个1=(sinx)^2+(cosx)^2再拆开什么的.中间都夭折了.我要疯掉了,

Question

求积分 根号下sin2xdx
不是平方,是sin2x,就是化开是2sinxcosx 那个,尝试了用换元,然后分部什么的,做不下去.然后又给下面添个 1=(sinx)^2+ (cosx)^2 再拆开什么的.中间都夭折了.我要疯掉了,

Answer 1

不妨考虑x∈(0,pi/2)时的情况
(sin2x)^(1/2)=[cos(2x-pi/2)]^(1/2)={1-2*[sin(x-pi/4)]^2}^(1/2)
∴∫(sin2x)^(1/2)dx
=∫{1-2*[sin(x-pi/4)]^2}^(1/2)dx
令sint=2^(1/2)*sin(x-pi/4) 则 t∈(-pi/2,pi/2)
t=arcsin[2^(1/2)*sin(x-pi/4)] cos(x-pi/4)=[1-(sint)^2/2]^(1/2)
dx=costdt/2^(1/2)*cos(x-pi/4)
∴原积分=∫(cost)^2dt/[2-(sint)^2]^(1/2)
=∫[2-(sint)^2]^(1/2)dt-∫dt/[2-(sint)^2]^(1/2)
=2^(1/2)∫[1-(sint)^2/2]^(1/2)dt-2^(-1/2)∫dt/[1-(sint)^2/2]^(1/2)
即上述积分为第一,第二类椭圆积分的组合,其原函数不能用初等函数表示
它的不定积分貌似求不出来