用“艾普西隆——X”语言证明函数极限的标准格式

Question

用“艾普西隆——X”语言证明函数极限的标准格式

Answer 1

首先,在这里我要着重先说明一下ε的含义,它是指一个很小的正数,由于我们之前的数学学习中,总是可以得到一个确定的数,所以我们证明或者计算起来就可以根据原理来计算,或者说是有的放矢,但是对于高数来说,很多概念是抽象的,比如ε,是一个很小的正数,但是我们并不知道它具体多大,实际上它是需要多小就有多小（ε是一个趋于0的正数）,它是一个可以无限接近0的一个概念,是我们在无法表达一个很小的数时的方法,（比如我们没有办法把全世界的人类都一一点名,为什么,因为太多了,但是我们仍然可以表达这个群体,那就是“人类”,其实我们每个人都有名字,都是不同的个体,但是在这里我们只需要统一表达就可以了）
其次,在我们论证极限的时候,我们是假设存在这样的ε,使得「f（x）-b」＜ ε （其中的函数和极限值一般都是给出的）从中的到关于x的不等式,如果可以得到x的解,就说明极限存在,此时我们就会认定存在A使得「f（x）-b」＜ ε 成立,从而得到证明 如果得不到x的解,那就说明不存在极限
这个书上应该有定义：
例如函数f（x）在区间（a,+∞）的时有定义,b是常数,若存在任意的ε＞0（ε称为厄普斯隆,即非常小的正数）存在任意的A＞0,任意的x＞A,有
「f（x）-b」 ＜ ε （ 「」代表绝对值））
则称函数f（x）（当x→+∞时）存在极限或者收敛,极限是b
这样的定义还有几个,包括x趋于一点的的极限,在一点处的左右极限,还有x趋于负无穷大时的极限,以及x趋于无穷大时的极限