证明凸集C中有限点的凸组合属于凸集C

Question

证明 凸集C中有限点的凸组合属于凸集C

Answer 1

设a1,a2,...,an 属于凸集C,p1,p2,...,pn 为非负数且 p1+p2+...+pn=1
需证明 p1a1+p2a2+...+pnan 属于凸集C.
用归纳法：当n=1时 a1属于凸集C ==> 1* a1=a1属于凸集C.显然成立.
设结论对n-1个点成立.于是对于 n个点,设 p=p1+p2+...+p(n-1),我们有
于是 p1/p +p2/p +...+p(n-1)/p = 1,且 p+an=1
所以 b = p1/p a1 +p2/p a2 +...+p(n-1)/p a(n-1)属于凸集C
p1a1+p2a2+...+pnan
= p(p1/p a1 + p2/p a2 + ...+ p(n-1)/p a(n-1)) + pn an
= pb+pnan 属于凸集C