凸四边形ABCD中，∠ABC=60°，∠BAD=∠BCD=90°，AB=2，CD=1，对角线AC、BD交于点O，如图．则sin∠AOB=15+632615+6326．

Question

凸四边形ABCD中，∠ABC=60°，∠BAD=∠BCD=90°，AB=2，CD=1，对角线AC、BD交于点O，如图．则sin∠AOB=

(15+6√(3))/(26)

(15+6√(3))/(26)

．

Answer 1

∵∠BAD=∠BCD=90°，
∴A、B、C、D四点共圆；
延长BA、CD交于P，
则∠ADP=∠ABC=60°，
AD=x，有AP=√(3)x，DP=2x，
由割线定理，得（2+√(3)x）√(3)x=2x（1+2x），
解得AD=x=2√(3)-2，BC=(1)/(2)BP=4-√(3)，
由托勒密定理有
BD•CA=（4-√(3)）（2√(3)-2）+2×1=10√(3)-12．
又S_ABCD=S_△ABD+S_△BCD=(3√(3))/(2)．
故sin∠AOB=(15+6√(3))/(26)．
故本题答案为：(15+6√(3))/(26)．