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如图,凸八边形AlA2A3A4A5A6A7A8中,∠Al=∠A5,∠A2=∠A6,∠A3=∠A7,∠A4=∠A8,试证明:该凸八边形内任意一点到8条边的距离之和是一个定值.
题目详情
如图,凸八边形AlA2A3A4A5A6A7A8中,∠Al=∠A5,∠A2=∠A6,∠A3=∠A7,∠A4=∠A8,试证明:该凸八边形内任意一点到8条边的距离之和是一个定值.
▼优质解答
答案和解析
证明:延长A8A1,A3A2相交于点M,延长A2A3,A5A4相交于点N,延长A4A5,A7A6相交于点P,延长A6A7,A1A8相交于点Q,如图,
由∠A1=∠A5,∠A2=∠A6,得∠MA1A2=∠PA5A6,∠MA2A1=∠PA6A5,有∠M=∠P,
同理可证∠N=∠Q,
∴MNPQ为平行四边形,
即A1A8∥A4A5,A2A3∥A7A8,
同理可证A1A2∥A5A6,A3A4∥A7A8,
∴八边形内任意一点到A2A3和A7A8的距离和为平行线A2A3和A7A8间的距离,是一个定值.
可以推得凸八边形内任意一点到8条边的距离之和是一个定值.
由∠A1=∠A5,∠A2=∠A6,得∠MA1A2=∠PA5A6,∠MA2A1=∠PA6A5,有∠M=∠P,
同理可证∠N=∠Q,
∴MNPQ为平行四边形,
即A1A8∥A4A5,A2A3∥A7A8,
同理可证A1A2∥A5A6,A3A4∥A7A8,
∴八边形内任意一点到A2A3和A7A8的距离和为平行线A2A3和A7A8间的距离,是一个定值.
可以推得凸八边形内任意一点到8条边的距离之和是一个定值.
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