设M是凸四边形ABCD边CD的中点,且∠AMB=2π/3.求证:BC+CD/2+DA>=AB.

Question

设M是凸四边形ABCD边CD的中点,且∠AMB=2π/3.
求证:BC+CD/2+DA>=AB.

Answer 1

设M是凸四边形ABCD边CD的中点,且∠AMB=2π/3.
求证:BC+CD/2+DA>=AB.
证明 以AM为轴,对三角形ADM作轴反射变换,D→D’,则MD=MD’,AD=AD’.
同样以BM为轴,对三角形BCM作轴反射变换,C→C’,则MC=MC’,BC=BC’.
连C’D’,根据∠AMB=2π/3,易证三角形MC’D’ 为正三角形.
从而C’D’=MD’=MC’=AD/2.
故在四边形ABC’D’ 中,AD’+D’C’+C’B>=AB.
因此得BC+CD/2+DA>=AB.
当且仅当MA是∠DAB的角平分线,MB是∠CBA的角平分线时取等号.