如图所示，已知锐角△ABC的外接圆半径R=1，∠BAC=60°，△ABC的垂心和外心分别为H、O，连接OH、BC交于点P（1）求凹四边形ABHC的面积；（2）求PO•OH的值．

Question

如图所示，已知锐角△ABC的外接圆半径R=1，∠BAC=60°，△ABC的垂心和外心分别为H、O，连接OH、BC交于点P

（1）求凹四边形ABHC的面积；
（2）求PO•OH的值．

Answer 1

（1）如图：连接BO并延长交 O于点G，连接AG、CG、CO，延长CH交AB于F，延长BH交AC于E，延长AH交BC于N，作OM⊥BC于M．

∵BG是直径，
∴GA⊥AB，GC⊥BC，
∵H为垂心，
∴BE⊥AC，CF⊥AB，AN⊥BC，
∴GA∥CH，GC∥AH，
∴AGCH是平行四边形，
∴AG=GC，
∵∠BAC=60°，OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=30°，
∴OM=(1)/(2)OB=(1)/(2)，BM=(√(3))/(2)，
∴BC=√(3)，
又∵OM=(1)/(2)CG，
∴AH=2OM=1，
设凹四边形的面积为S，则S=S△AHB+S△AHC=(1)/(2)×AH×BN+(1)/(2)×AH×CN=(1)/(2)×AH×BC=(√(3))/(2)，
（2）∵BE⊥AC，CF⊥AB，AN⊥BC，∠BAC=60°，
∴∠ACF=30°，
∴∠CHE=60°，
∴∠BHC=120°，
∴B、C、H、O四点共圆，
∵∠OBC=∠OCB=30°，
∴∠CHP=∠OBC=30°，
∴∠OHC=∠OCP=150°，
∴△OHC∽△OCP，
∴OH•OP=OC²=1．