如图所示，有一对平行金属板，板间加有恒定电压；两板间有匀强磁场，磁感应强度大小为B0，方向垂直于纸面向里．金属板右下方以MN、PQ为上下边界，MP为左边界的区域内，存在垂直纸面

Question

如图所示，有一对平行金属板，板间加有恒定电压；两板间有匀强磁场，磁感应强度大小为B₀，方向垂直于纸面向里．金属板右下方以MN、PQ为上下边界，MP为左边界的区域内，存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁场宽度为d，MN与下极板等高，MP与金属板右端在同一竖直线．一电荷量为q、质量为m的正离子，以初速度v₀沿平行于金属板面、垂直于板间磁场的方向从A点射入金属板间，不计离子的重力．
（1）已知离子恰好做匀速直线运动，求金属板间电场强度的大小和方向；
（2）若撤去板间磁场B₀，已知离子恰好从下极板的右侧边缘射出电场，方向与水平方向成30°角，求A点离下极板的高度；
（3）在（2）的情形中，为了使离子进入磁场运动后从边界MP的P点射出，磁场的磁感应强度B应为多大？

Answer 1

（1）设板间的电场强度为E，离子做匀速直线运动，受到的电场力和洛仑兹力平衡有：
  qE=qv₀B₀   
解得：E=v₀B₀ ①
由左手定则可判断出洛仑兹力方向竖直向上，所以电场力的方向竖直向下，故场强的方向竖直向下．
（2）设A点离下极板的高度为h，离子射出电场时的速度为v，根据动能定理得：
  qEh＝(1)/(2)mv2−(1)/(2)m

v

2 0

  ②
离子在电场中做类平抛运动，水平分方向做匀速直线运动，则有 v=(v0)/(cos30°)   ③
联立①②③解得：h=(mv20)/(6qv0B0)=(mv0)/(6qB0)  ④
（3）设离子进入磁场后做匀速圆周运动的半径为r，由几何关系得：r=((1)/(2)d)/(sin60°)=(√(3))/(3)d  ⑤
根据牛顿第二定律得：qvB=m(v2)/(r)  ⑥
联立③⑤⑥解得：B＝(2mv0)/(qd)；
答：
（1）金属板间电场强度的大小为v₀B₀，方向竖直向下；
（2）A点离下极板的高度为(mv0)/(6qB0)；
（3）磁场的磁感应强度B应为(2mv0)/(qd)．