如何通过洛伦兹变换得到m=m0/sqr(1-v^2/c^2)已知洛伦兹变换求如何得到质量变换m=m0/sqr(1-v^2/c^2)

Question

如何通过洛伦兹变换得到m=m0/sqr(1-v^2/c^2)
已知洛伦兹变换
求如何得到质量变换m=m0/sqr(1-v^2/c^2)

Answer 1

现在根据这两个事实,推导坐标的变换式
设想有两个惯性坐标系分别叫S系、S'系,S'系的原点O‘相对S系的原点O以速率v沿x轴正方向运动.任意一事件在S系、S'系中的时空坐标分别为（x,y,z,t）、（x',y',z',t'）.两惯性系重合时,分别开始计时
若x=0,则x'+vt'=0.这是变换须满足的一个必要条件,故猜测任意一事件的坐标从S'系到S系的变换为
　x=γ(x'+vt') (1)
式中引入了常数γ,命名为洛伦兹因子 （由于这个变换是猜测的,显然需要对其推导出的结论进行实验以验证其正确性）
　在此猜测上,引入相对性原理,即不同惯性系的物理方程的形式应相同.故上述事件坐标从S系到S'系的变换为
x'=γ(x-vt) (2)
y与y'、z与z'的变换可以直接得出,即 　　y'=y (3) 　　z'=z (4)
把（2）代入（1）,解t'得
t'=γt+(1-γ^2)x/γv (5)
在上面推导的基础上,引入光速不变原理,以寻求γ的取值
　设想由重合的原点O（O'）发出一束沿x轴正方向的光,设该光束的波前坐标为（X,Y,Z,T)、(X',Y',Z',T').根据光速不变,有
X=cT (6) 　　X’=cT' (7)
（1）（2）相乘得 　　xx'=γ^2( xx'-x'vt+xvt'-v^2*tt') (8)
以波前这一事件作为对象,则（8）写成
XX'=γ^2(XX'-X'VT+XVT'-V^2*TT') (9)
（6）（7）代入（9）,化简得洛伦兹因子
　γ=[1-(v/c) ^2]^(-1/2) (10)
（10）代入（5）,化简得
　t'=γ(t-vx/c^2) (11)
把（2）、（3）、（4）、（11）放在一起,即S系到S'系的洛伦兹变换
　x'=γ(x-vt),　　y'=y,　　z'=z,　　t'=γ(t-vx/c^2) (12)
　根据相对性原理,由（12）得S'系到S系的洛伦兹变换
　x=γ(x'+vt'),　　y=y',　　z=z',　　t=γ(t'+vx'/c^2) (13)
　下面求洛伦兹变换下的速度变换关系
考虑分别从S系和S'系观测一质点P的运动速度.设在S系和S'系中分别测得的速度为u(j,n,m)和u'(j',n',m')
　由（12）对t'求导即得 S系到S'系的洛伦兹速度变换
　j'=(j-v)/(1-vj/c^2),
　n'=n/[γ(1-vj/c^2)^-1],
　m'=m/[γ(1-vj/c^2)^-1] (14)
根据相对性原理,由（14）得S'系到S系的洛伦兹速度变换
　j=(j'+v)/(1+vj'/c^2),
　n=n'/[γ(1+vj'/c^2)^-1],
　m=m'/[γ(1+vj'/c^2)^-1] (15)