如图所示，建筑工地常用的一种“深穴打夯机”工作时，电动机带动两个紧压夯杆的滚轮匀速转动将夯从深为h的坑中提到地面，两个滚轮彼此分开，夯杆被释放，最后夯在自身重力作用

Question

如图所示，建筑工地常用的一种“深穴打夯机”工作时，电动机带动两个紧压夯杆的滚轮匀速转动将夯从深为h的坑中提到地面，两个滚轮彼此分开，夯杆被释放，最后夯在自身重力作用下，落回深坑，夯实坑底，然后，两个滚轮再次压紧夯杆，夯再次被提到地面，如此周而复始．已知两个滚轮的半径R=0.2m，转动的角速度ω=20rad/s，每个滚轮对夯杆的正压力 F N =2×1 0 4 N ，滚轮与夯杆间的动摩擦因数μ=0.3，夯的总质量m=1×10 ³ kg，坑深h=6.4m，假定在打夯的过程中每次坑的深度变化不大，当夯的底端升到坑口时，滚轮将夯杆释放，不计空气阻力，取g=10m/s ² ，求：
（1）夯杆被滚轮压紧加速上升至与滚轮速度相等时，此时夯的底端离坑底的高度h ₁ ；
（2）夯的运动周期T；
（3）每个周期中，提升夯的过程中电动机所做的功W．

Answer 1

（1）滚轮线速度v=ωR=4.0m/s…①
夯加速上升过程中， (2μ F N -mg) h 1 =(1)/(2) m v 2 …②
得， h 1 =(m v2)/(2(2μ FN -mg)) =4.0m …③
（2）设夯加速时间为t ₁ ，则由动量定理得
   （2μF _N -mg）t ₁ =mv…④
得 t 1 =(mv)/(2μ FN -mg) =2.0s …⑤
夯匀速上升时间 t 2 ，   t 2 =(h- h1)/(v) =0.6s …⑥
夯离开坑口上升到最大高度时间 t 3 =(v)/(g) =0.4s …⑦
夯离开坑口上升的最大高度 h 2 =(v2)/(2g) =0.8m …⑧
夯从最高点自由下落到坑底时间 t 4 =

(2(h+ h2 ))/(g)

=1.2s …⑨
夯的运动周期T=t ₁ +t ₂ +t ₃ +t ₄ =4.2s…⑩
（3）夯加速上升过程中，夯杆与滚轮摩擦产生的热量 Q=2μ F N (v-(v)/(2) ) t 1 =4.8×1 0 4 J …（11）
夯从坑底提升到地面，夯的机械能增加量 △E=(1)/(2) m v 2 +mgh=7.2×1 0 4 J …（12）
每个周期中，提升夯的过程中电动机所做的功W=Q+△E=1.2×10 ⁵ J…（13）
答：
（1）夯杆被滚轮压紧加速上升至与滚轮速度相等时，此时夯的底端离坑底的高度h ₁ =4m．
（2）夯的运动周期T=4.2s；
（3）每个周期中，提升夯的过程中电动机所做的功W=1.2×10 ⁵ J．