如图是建筑工地上常用的一种“深穴打夯机”示意图，电动机带动两个滚轮匀速转动将夯杆从深坑提上来，当夯杆底端刚到达坑口时，两个滚轮彼此分开，夯杆在自身重力作用下，落回深坑

Question

如图是建筑工地上常用的一种“深穴打夯机”示意图，电动机带动两个滚轮匀速转动将夯杆从深坑提上来，当夯杆底端刚到达坑口时，两个滚轮彼此分开，夯杆在自身重力作用下，落回深坑，夯实坑底．然后两个滚轮再次压紧，夯杆被提上来，如此周而复始．已知两个滚轮边缘的线速度恒为v=4m/s，滚轮对夯杆的正压力F_N=2×10⁴N，滚轮与夯杆间的动摩擦因数为0.3，夯杆质量m=1×10³kg，坑深h=6.4m，假定在打夯的过程中坑的深度变化不大，取g=10m/s²．求：
（1）在每个打夯周期中，电动机对夯杆所做的功；
（2）每个打夯周期中滚轮与夯杆间因摩擦产生的热量；
（3）打夯周期．

Answer 1

（1）夯杆所受的滑动摩擦力F₁=2μF_N
根据牛顿第二定律得，F₁-mg=ma
夯杆匀加速运动的位移s1＝(v2)/(2a)
夯杆匀速运动的位移s₂=h-s₁
匀速运动的过程中，夯杆受静摩擦力，F₂=mg
所以电动机对夯杆所做的功W=F₁s₁+F₂（h-s₁）=7.2×10⁴J．
故电动机对夯杆所做的功为7.2×10⁴J．
（2）夯杆与滚轮之间的相对位移为△s＝vt−(v2)/(2a)   t=(v)/(a)
解得△s＝(v2)/(2a)
所以Q=2μF_N△s=4.8×10⁴J．
故每个打夯周期中滚轮与夯杆间因摩擦产生的热量为4.8×10⁴J．
（3）夯杆的运动过程包括：匀加速上升、匀速上升、匀减速上升再落回到坑底．
匀加速运动的时间t1＝(v)/(a)＝2s
匀速运动的时间t2＝(h−s1)/(v)＝0.6s
匀减速上升再落回坑底过程有：规定向上为正方向，h＝vt3+(1)/(2)at32-6.4=4t3−(1)/(2)×10t32
解得t₃=1.6s
所以周期T=t₁+t₂+t₃=4.2s
故打夯周期为4.2s．