图示是建筑工地常用的一种“深穴打夯机”．工作时，电动机带动两个紧压夯杆的滚轮匀速转运将夯杆从深为h的坑中提上来，当两个滚轮彼此分开时，夯杆被释放，最后夯在自身重力作用下

Question

图示是建筑工地常用的一种“深穴打夯机”．工作时，电动机带动两个紧压夯杆的滚轮匀速转运将夯杆从深为h的坑中提上来，当两个滚轮彼此分开时，夯杆被释放，最后夯在自身重力作用下，落回深坑，夯实坑底．然后，两个滚轮再次压紧，夯杆再次被提上来，如此周而复始工作．已知两个滚轮边缘线速度v恒为4m/s，每个滚轮对夯杆的正压力F_N为2×10⁴N，滚轮与夯杆间的动摩擦因数μ为0.3，夯杆质量m为1×10³kg，坑深h为6.4m．假定在打夯的过程中坑的深度变化不大，且夯杆底端升到坑口时，速度正好为零．取g=10m/s²．求：
（1）夯杆上升过程中被滚轮释放时的速度为多大，此时夯杆底端离夯底多高；
（2）每个打夯周期中，电动机对夯杆所作的功；
（3）打夯周期．

Answer 1

（1）夯杆在上升过程中，对夯杆进行受力分析知，夯杆所受摩擦力为：；
夯杆产生加速度为：
当夯杆与滚轮相对静止时：
当夯杆以v=4m/s的初速度竖直上抛，上升高度为：
则当夯杆加速向上运动速度到达v=4m/s后，夯杆匀速上升，匀速上升高度为：h₃=h-h₁-h₂=1.6m
因此，夯杆先匀加速上升，后匀速上升，再竖直上抛．    
故夯杆上升过程中被滚轮释放时的速度为4m/s；
此时夯杆底端离夯底△h=h-h₂=5.6m．      
（2）夯杆在上升过程中只有电动机和重力对夯杆做功，根据动能定理有：
W+W_G=0
∴W=-W_G=-mg（-h）=mgh=6.4×10⁴J
夯杆下落过程中只有重力做功电动机不做功，故一个打夯周期中电动机对夯杆做功为6.4×10⁴J
（3）夯杆上抛运动的时间为：；  
夯杆匀速上升的时间为：；      
夯杆自由落体的时间为：
故打夯周期为：T=t₁+t₂+t₃+t₄=3.93s
答：（1）夯杆上升过程中被滚轮释放时的速度为4m/s，此时夯杆底端离夯底5.6m；
（2）每个打夯周期中，电动机对夯杆所作的功6.4×10⁴J；
（3）打夯周期为3.93s．