如图是建筑工地常用的一种“深穴打夯机”，电动机带动两个滚轮匀速转动将夯杆从深坑提上来，当夯杆底端刚到达坑口时，两个滚轮彼此分开，将夯杆释放，夯杆只在重力作用下运动，落

Question

如图是建筑工地常用的一种“深穴打夯机”，电动机带动两个滚轮匀速转动将夯杆从深坑提上来，当夯杆底端刚到达坑口时，两个滚轮彼此分开，将夯杆释放，夯杆只在重力作用下运动，落回深坑，夯实坑底，且不反弹．然后两个滚轮再次压紧，夯杆被提到坑口，如此周而复始．已知两个滚轮边缘的线速度恒为v=4m/s，滚轮对夯杆的正压力F_N=2×10⁴N，滚轮与夯杆间的动摩擦因数μ=0.3，夯杆质量m=1×10³kg，坑深h=6.4m，假定在打夯的过程中坑的深度变化不大可以忽略，取g=10m/s²．求：

（1）夯杆被滚轮压紧，加速上升至与滚轮速度相同时的高度；
（2）每个打夯周期中，滚轮将夯杆提起的过程中，电动机对夯杆所做的功；
（3）每个打夯周期中滚轮与夯杆间因摩擦产生的热量；
（4）打夯周期．

Answer 1

（1）对夯杆：
由牛顿第二定律可得a=(2μFN-mg)/(m)=2m/s²
上升高度：h₁=(v2)/(2a)=(42)/(2×2)m=4m
（2）夯杆加速上升阶段：W₁=2μF_N•h₁=2×0.3×2×10⁴×4J=4.8×10⁴J
匀速上升阶段：W₂=mgh₂=2.4×10⁴J
每个周期中 W=W₁+W₂=7.2×10⁴J
（3）夯杆加速上升时间：t1=(v)/(a)=(4)/(2)s=2s滚轮边缘转过的距离s=vt₁=4×2m=8m2×0.3×2×10⁴×4J
相对夯杆位移     d=8m-4m=4m     Q=2μFN•d=2×0.3×2×104×4J=4.8×104J
（4）夯杆匀速上升时间t₂=(h2)/(v)=(2.4)/(4)s=0.6s    
夯杆从坑口做竖直上抛-h=vt3-(1)/(2)gt32
解得t₃=1.6s        
T=t₁+t₂+t₃=4.2s
答：（1）夯杆被滚轮压紧，加速上升至与滚轮速度相同时的高度为4m；
（2）每个打夯周期中，滚轮将夯杆提起的过程中，电动机对夯杆所做的功为7.2×10⁴J
（3）每个打夯周期中滚轮与夯杆间因摩擦产生的热量为4.8×10⁴J；
（4）打夯周期为4.2s．